9.- Transformaciones estrella - delta.

En el análisis de circuitos suelen surgir situaciones en las que los resistores no están en paralelo ni en serie. Por ejemplo, considérese el circuito puente de la siguiente figura figura 1.

(1)

¿Cómo se combinan los resistores R1 a R6 cuando no están en serie ni en paralelo? Muchos circuitos del tipo mostrado en la figura pueden simplificarse usando redes equivalentes de tres terminales. Éstas son la red en estrella (Y) o en te (T) que aparece en la figura 2 y la red delta (Δ) o pi (Π) que aparece en la figura 3. Estas redes se presentan por sí mismas o como parte de una red mayor. Se usan en redes trifásicas, filtros eléctricos y redes de acoplamiento. El principal interés es cómo identificarlas cuando aparecen como parte de una red y cómo aplicar la transformación estrella- delta en el análisis de esa red.

(2)

(3)

Conversión delta a estrella

Supóngase que es más conveniente trabajar con una red en estrella en un lugar donde el circuito contiene una configuración en delta. Se superpone una red en estrella en la red en delta existente y se hallan las resistencias equivalentes en la red en estrella. Para obtener las resistencias equivalentes en la red en estrella, hay que comparar las dos redes y cerciorarse de que la resistencia entre cada par de nodos en la red  (o ) sea igual a la resistencia entre el mismo par de nodos en la red Y (o T). Para las terminales 1 y 2 de las figuras 2 y 3, por ejemplo,

R12(Y) = R1 + R3 

                               R12(Δ) = Rb || (Ra + Rc)                 (1)

Dejando R12(Y) = R12( Δ ), se obtiene  

  (2a)

De igual manera

(2b, 2c)

Al sustraer la ecucación 2c de la ecucación 2a se obtiene

 (3)

La suma de las ecuaciones 2b y 3 origina

(4)

y la ilustración de la ecuación 4 de la ecuacion 2b origina

(5)

Al restar la ecuación 4 de la ecuación 2a se obtiene

(6)

No es necesario memorizar las ecucaciones 4 a 6. Para transformar una red Δ en Y, se crea un nodo extra n, como se indica en la figura

(a)

y se sigue esta regla

Cada resistor de la red Y es el producto de los resistores de las 2 ramas Δ adyacentes dividido entre la suma de los resistores de Δ.

Conversión estrella a delta

Para obtener kas fórmulas de conversión que transformen una red en estrella en una red delta equivalente, en las ecuaciones 4 a 6 se advierte que

(7)

La división de la ecuación 7 entre cada una de las ecuaciones 4 a 6 conduce a las siguientes ecuaciones:

(8, 9, 10)

Con base en las ecuaciones 8 a 10 y de la figura a, la regla de conversión para Y en Δ es la siguiente:

cada resistor de la red Δ es la suma de todos los productos posibles de los resistores Y tomados de 2 en 2, dividido entre el resistor opuesto en Y.

se dice que las redes Y y Δ están equilibradas cuando

R1 = R2 = R3 = Ry,        Ra = Rb = Rc = Rd       (11)

En estas condiciones. las fórmulas de conversión vienen a ser

(12) 

Es posible que provoque sorpresa que RY sea menor que R Δ. A este respecto, observe que la conexión en Y es como una conexión “en serie”, mientras que la conexión en Δ es como una conexión “en paralelo”. Nótese que al hacer la transformación, no se quita nada del circuito ni se agrega algo nuevo en él. Solamente se están sustituyendo patrones de red, de tres terminales diferentes, equivalentes matemáticamente para crear un circuito en el que los resistores estén en serie o en paralelo, lo que nos permite calcular la Req de ser necesario.