Problemas: carga y corriente, tensión, potencia y energía, elementos de circuito

10.- Resumen Temas 6 a 9

1. Un resistor es un elemento pasivo en el cual su tensión v es directamente proporcional a la corriente i que circula por él. Es decir, es un dispositivo que cumple la ley de Ohm,

v = iR

donde R es la resistencia del resistor.

2. Un cortocircuito es un resistor (un alambre perfectamente conductor) con resistencia cero

(R = 0). Un circuito abierto es un resistor con resistencia infinita (R = ∞).

3. La conductancia G de un resistor es el recíproco de su resistencia:

G = 1 / R

4. Una rama es un elemento de dos terminales en un circuito eléctrico. Un nodo es el punto de conexión entre dos o más ramas. Un lazo corresponde a una trayectoria cerrada en un circuito. El número de ramas b, el número de nodos n y el de lazos independientes l en una red se relacionan de la siguiente manera:

b = l + n – 1

5. La ley de corriente de Kirchhoff (LCK) establece que la suma algebraica de las corrientes en cualquier nodo es igual a cero. En otras palabras, la suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen de él.

6. La ley de tensión de Kirchhoff (LTK) establece que la suma algebraica de las tensiones alrededor de una trayectoria cerrada es igual a cero. En otras palabras, la suma de los aumentos de tensiones es igual a la suma

de las caídas de tensión.

7. Dos elementos se encuentran en serie cuando están conectados secuencialmente, terminal con terminal. Cuando los elementos están en serie, circula por ellos la misma corriente (i1 =i2). Se encuentran en paralelo

si están conectados a los dos mismos nodos. Elementos en paralelo siempre tienen la misma tensión (v1 =v2).

8. Cuando dos resistores R1(=1/G1) y R2(=1/G2) están en serie, su resistencia equivalente Req y su conductancia equivalente Geq son

Req = R1 + R2,        Geq = G1G2/ G1 + G2

9. Cuando dos resistores R1(=1/G1) y R2(=1/G2) están en paralelo, su resistencia

equivalente Req y su conductancia equivalente Geq son

Req = R1R2 / R1 + R2,         Geq = G1 + G2

10. El principio de división de tensión de 2 resistores en serie es

V1 = (R1 / R1 + R2)(V),  V2 = (R2 / R1 + R2)(V)

11. El principio de división de corriente para 2 resistores en paralelo corresponde a

i1 = (R2 / R1 + R2) (i),         i2=(R1 / R1 + R2) (i)

12. Las fórmulas para una transformación delta a estrella son

R1 = Rb Rc / Ra + Rb + Rc ,          R2 = Rc Ra / Ra + Rb + Rc               R3 = Ra Rb / Ra + Rb + Rc  

13. Las fórmulas para una transformación estrella a delta son    

Ra = R1 R2 + R2 R3 + R3 R1/ R1,          Rb = R1 R2 +R2 R3 + R3 R1/ R2               

Rc = R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 / R3

  

9.- Transformaciones estrella - delta.

En el análisis de circuitos suelen surgir situaciones en las que los resistores no están en paralelo ni en serie. Por ejemplo, considérese el circuito puente de la siguiente figura figura 1.

(1)

¿Cómo se combinan los resistores R1 a R6 cuando no están en serie ni en paralelo? Muchos circuitos del tipo mostrado en la figura pueden simplificarse usando redes equivalentes de tres terminales. Éstas son la red en estrella (Y) o en te (T) que aparece en la figura 2 y la red delta (Δ) o pi (Π) que aparece en la figura 3. Estas redes se presentan por sí mismas o como parte de una red mayor. Se usan en redes trifásicas, filtros eléctricos y redes de acoplamiento. El principal interés es cómo identificarlas cuando aparecen como parte de una red y cómo aplicar la transformación estrella- delta en el análisis de esa red.

(2)

(3)

Conversión delta a estrella

Supóngase que es más conveniente trabajar con una red en estrella en un lugar donde el circuito contiene una configuración en delta. Se superpone una red en estrella en la red en delta existente y se hallan las resistencias equivalentes en la red en estrella. Para obtener las resistencias equivalentes en la red en estrella, hay que comparar las dos redes y cerciorarse de que la resistencia entre cada par de nodos en la red  (o ) sea igual a la resistencia entre el mismo par de nodos en la red Y (o T). Para las terminales 1 y 2 de las figuras 2 y 3, por ejemplo,

R12(Y) = R1 + R3 

                               R12(Δ) = Rb || (Ra + Rc)                 (1)

Dejando R12(Y) = R12( Δ ), se obtiene  

  (2a)

De igual manera

(2b, 2c)

Al sustraer la ecucación 2c de la ecucación 2a se obtiene

 (3)

La suma de las ecuaciones 2b y 3 origina

(4)

y la ilustración de la ecuación 4 de la ecuacion 2b origina

(5)

Al restar la ecuación 4 de la ecuación 2a se obtiene

(6)

No es necesario memorizar las ecucaciones 4 a 6. Para transformar una red Δ en Y, se crea un nodo extra n, como se indica en la figura

(a)

y se sigue esta regla

Cada resistor de la red Y es el producto de los resistores de las 2 ramas Δ adyacentes dividido entre la suma de los resistores de Δ.

Conversión estrella a delta

Para obtener kas fórmulas de conversión que transformen una red en estrella en una red delta equivalente, en las ecuaciones 4 a 6 se advierte que

(7)

La división de la ecuación 7 entre cada una de las ecuaciones 4 a 6 conduce a las siguientes ecuaciones:

(8, 9, 10)

Con base en las ecuaciones 8 a 10 y de la figura a, la regla de conversión para Y en Δ es la siguiente:

cada resistor de la red Δ es la suma de todos los productos posibles de los resistores Y tomados de 2 en 2, dividido entre el resistor opuesto en Y.

se dice que las redes Y y Δ están equilibradas cuando

R1 = R2 = R3 = Ry,        Ra = Rb = Rc = Rd       (11)

En estas condiciones. las fórmulas de conversión vienen a ser

(12) 

Es posible que provoque sorpresa que RY sea menor que R Δ. A este respecto, observe que la conexión en Y es como una conexión “en serie”, mientras que la conexión en Δ es como una conexión “en paralelo”. Nótese que al hacer la transformación, no se quita nada del circuito ni se agrega algo nuevo en él. Solamente se están sustituyendo patrones de red, de tres terminales diferentes, equivalentes matemáticamente para crear un circuito en el que los resistores estén en serie o en paralelo, lo que nos permite calcular la Req de ser necesario.

8.- Resistores en paralelo y división de corriente.

Considere el circuito de la siguiente figura.

donde 2 resitores están conectados en paralelo y por lo tanto tienen la misma tensión, Con base a la ley de ohm.

v = i1R1 = i2R2

osea

i1 = v / R1 ,         i2 = v / R2      (1)

La aplicación de la LCK al nodo a produce la corriente total i como 

i1 = i1 + i2             (2)

Al sustituir en la ecuación 1 en la ecuación 2 se obtiene.

i = ( v/R1) + (v/R2) = v ((1/R1) + (1/R2)) = v/Req

donde Req es la resistencia equivalente de los resistores en paralelo: 

1/Req = 1/R1 + 1/R2

osea 

1/Req =( R1 + R2 ) / R1*R2

osea

Req = (R1*R2) / R1 + R2

La resistencia equivalente de 2 resistores en paralelo es igual al producto de sus resistencias dividido entre su suma.

La conductancia equivalente de resistores conectados en paralelo es la suma de sus conductancias individuales.  

Geq = G1 + G2 + G3 + ........... + GN

donde Geq = 1/Req, G1 = 1/R1, G2= 1/R2, ........ GN = 1/RN

7.- Resistores en serie y división de tensión

Considere la siguiente figura.

Los 2 resistores están en serie, ya que en ambos fluye la misma corriente i. Al aplicar la ley de ohm a cada unos de los resistores se obtiene.

v1 = iR1 ,        v2 = iR2        (1)

Si se aplica la LTK al lazo (desplazándonos en el sentido de las manecillas del reloj) , se tiene

-v + v1 + v2 = 0       (2)

De la combinación de las ecuaciones 1 y 2 se obtiene

v = v1 + v2 = i(R1 + R2)        (3)

osea

i = v / R1 + R2        (4)

Nótese que la ecuación 3 puede escribirse como 

v= iReq

lo que implica que los dos resistores pueden remplezarse por un resitor equivalente Req : esto es

Req = R1 + R2

Así la figura puede reemplazarse por el siguiente circuito.

La resistencia equivalente de cualquier número de resistores conectados en serie es la suma de las resistencias individuales.

6.- Leyes de kirchhoff (LCK)

LCK = establece que la suma algebraica de las corrientes que entran a un nodo ( o frontera cerrada) es cero.

La suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen de él.

La ley de tensión de kirchhoff (LTK) establece que la suma algebraica de todas las tensiones alrededor de una trayectoria cerrada (o lazo) es cero.

LTK puede aplicarse de 2 maneras: recorriendo el lazo en el sentido de las manecillas de reloj o en el contrario alrededor del lazo. De una u otra forma, la suma algebraica de las tensiones a lo largo del lazo es de cero.

La suma de caídas de tensión = Suma de aumentos de tensión.

5.- Nodos, Ramas y Lazos

Una rama : representa un solo elemento, como una fuente de tensión o un resistor.

Un nodo: es el punto de conexión entre 2 o más ramas.

Un Lazo: es cualquier trayectoria cerrada en un circuito.

2 o más elementos están en serie si comparten exclusivamente un solo nodo y conducen en consecuencia la misma corriente.

2 o más elementos están en paralelo si están conectados a los 2 mismos nodos y tienen en consecuencia la misma tensión entre sus terminales.